1 Sucessões e séries de funções
1.1 Sucessões de funções
Definição de sucessão de funções. Notação.
Definição de convergência pontual de uma sucessão de funções. Exemplos/exercícios.
1.2 Convergência pontual e convergência uniforme
Definição de convergência uniforme de uma sucessão de funções a partir de modificação da correspondente definição de convergência pontual. Notação. Definição equivalente em termos de limn supx. Exemplos/exercícios.
Interpretação gráfica da convergência uniforme.
Teorema que garante a continuidade do limite uniforme de funções contínuas. Exemplos.
1.3 Integração e derivação termo a termo
Teorema acerca da integração termo a termo. Exemplo/exercício onde não é aplicável.
Teorema acerca da derivação termo a termo. Exemplo/exercício onde não é aplicável.
1.4 Séries de funções
Definição de série de funções e de sucessão correspondente das somas parciais. Notação.
Definição de convergência pontual e de convergência uniforme de uma série de funções. Exemplo/exercício.
Soma de um série de funções. Notação.
Critério de Weierstrass para a convergência uniforme.
Tradução para séries de funções dos teoremas que garantem, sob condições adequadas, a continuidade, a integração termo a termo e a derivação termo a termo.
Exercício.
2 Séries de potências e fórmula de Taylor
2.1 Séries de potências
Definição de série de potências (centrada em 0 ou centrada em um outro ponto).
Raio de convergência, intervalo (aberto) de convergência (até absoluta) e domínio de convergência de uma série de potências. Exemplos/exercícios.
Convergência uniforme em qualquer subintervalo fechado do intervalo aberto de convergência.
Continuidade da função soma no intervalo aberto de convergência.
Permitida a primitivação (primitivas que se anulam no centro da série) termo a termo e a derivação termo a termo dentro do intervalo aberto de convergência, sendo que a série de tais primitivas e a série das derivadas têm o mesmo raio de convergência e o mesmo intervalo aberto de convergência que a série inicial.
Soma da série geométrica de razão $x$.
Obtenção de desenvolvimentos em série de potências para outras funções
- através de substituições simples da variável,
- ou através de primitivação termo a termo,
- ou através de derivação termo a termo,
- ou através de decomposição em funções cujos desenvolvimentos em série de potências já sejam conhecidos.
Exemplos. Exercícios.
Obtenção de somas de séries de potências através de decomposição em séries de potências cujas somas já sejam conhecidas. Exercício.
2.2 Séries de Taylor
Série de Taylor (centrada num qualquer ponto) como a única série de potências (centrada no ponto em causa) que pode ter a função dada como soma no intervalo aberto de convergência (suposto não vazio). Série de MacLaurin.
Exemplo de função que não coincide com a soma da sua série de MacLaurin.
Fórmula de Taylor com resto de Lagrange de ordem $n$. Polinómio de Taylor de ordem $n$. Resto de Cauchy e resto integral.
Exemplos/exercícios de funções que coincidem com as somas das respectivas séries de MacLaurin: o caso de $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$, incluindo o controlo do resto nas respectivas fórmulas de Taylor.
Exercício de cálculo de soma de série de potências onde se conjuga a derivação termo a termo com o conhecimento prévio de somas de certas séries de potências.
A série de MacLaurin de $(1+x)^\alpha$, $\alpha \in \mathbb{R}$, — série binomial — e a sua convergência para $(1+x)^\alpha$ quando $|x|<1$. Comparação com a fórmula do binómio de Newton.
Exercício de integração termo a termo para obtenção de representação em série de potências para uma função que não se consegue exprimir através de funções elementares.
Exercício sobre a determinação de um majorante do erro que se comete ao aproximar uma função por um seu polinómio de Taylor num intervalo dado.
Exercício sobre a determinação de uma ordem a considerar para um polinómio de Taylor de uma função de modo a aproximar o valor num ponto a menos de um erro especificado.
Exercício onde em vez de uma das formas para o resto na fórmula de Taylor se usa o critério de Leibniz para controlar o erro de truncatura cometido.
Interpretação geométrica dos polinómios de Taylor centrados em c de uma função f, em particular a tangência dos seus gráficos com o gráfico de f em (c,f(c)). O polinómio de Taylor de ordem n e de centro em c de uma função como o único polinómio de grau quando muito n cujas derivadas em c coincidem com as derivadas da função até à ordem n.
Exercício sobre cálculo de linearização e de aproximação quadrática, incluindo esboços.
As séries de potências vistas como uma possibilidade de definição analítica de funções, como a exponencial, o seno e o cosseno. Também como uma possibilidade de extensão da definição ao corpo dos números complexos. Como consequência, prova da relação
(1)
\begin{align} e^{ix} = \cos x + i \sin x, \quad \forall x \in \mathbb R. \end{align}
3 Séries de Fourier
3.1 Funções periódicas e séries de Fourier
Introdução.
Funções periódicas. Período. Período fundamental.
Funções localmente integráveis.
Invariância da integração de uma função periódica localmente integrável sobre qualquer intervalo com um período de amplitude.
Relações de ortogonalidade entre senos e cossenos. Expressão dos coeficientes de um polinómio trigonométrico em termos da função definida por esse polinómio.
Definição de série de Fourier e de coeficientes de Fourier de uma função periódica e localmente integrável.
Definição de série de Fourier (e de coeficientes de Fourier) de uma função integrável definida num intervalo, através de extensão por periodicidade. Exercícios sobre cálculo de séries de Fourier (e esboço do gráfico de extensões periódicas em subconjuntos de $\mathbb R$).
Séries de Fourier de funções periódicas localmente integráveis (ou de funções integráveis em intervalos) que sejam pares ou ímpares. Séries de senos e séries de cossenos de funções integráveis em intervalos. Exercício.
3.2 Notação complexa
Série de Fourier em notação complexa.
Derivada de função complexa com partes real e imaginária diferenciáveis. Primitiva.
Integral de função complexa com partes real e imaginária integráveis. Fórmula de Barrow para funções complexas (contínuas).
Derivada da exponencial de uma função complexa diferenciável.
Relações de ortogonalidade entre exponenciais com argumentos imaginários. Expressão dos coeficientes de um polinómio trigonométrico na forma complexa em termos da função definida por esse polinómio. Exercício.
3.3 Convergência em média quadrática
Revisita à convergência uniforme de modo a encará-la como convergência no espaço vectorial $C(D)$ das funções contínuas com um domínio comum $D$ munido com a norma $\| \cdot \|_\infty$ do supremo. A seguir, introdução da noção de semi-produto interno no espaço vectorial $R[-\pi,\pi]$ das funções integráveis (à Riemann) no intervalo $[-\pi,\pi]$ como justificação para a designação de relações de ortogonalidade usada anteriormente, sendo que, com tal semi-produto interno, $R[-\pi,\pi]$ fica também munido da semi-norma $\| \cdot \|_2$ da convergência em média quadrática.
Referência também às designações (semi-)norma da energia e erro médio quadrático.
Convergência da série de Fourier de uma função $f$ integrável (à Riemann) em $[-\pi,\pi]$ em média quadrática para $f$. Isto é,
(2)
\begin{align} \lim_{N \to \infty} \| f - s_N \|_2 = 0, \end{align}
onde
(3)
\begin{align} s_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N ( a_n \cos (nx) + b_n \sin (nx) ), \quad x \in [-\pi,\pi], \quad N \in \mathbb N. \end{align}
Interpretação geométrica do erro médio quadrático em tal caso, indicando, em particular, ser a menor distância (no sentido de $\| \cdot \|_2$) de $f$ ao subespaço gerado pelas funções $\cos (nx)$, $\sin (nx)$, para $n = 0, 1, \ldots, N$.
Desigualdade de Bessel. Identidade (ou fórmula) de Parseval. Exercícios.
3.4 Convergência pontual
Lema de Riemann-Lebesgue.
Uma fórmula trigonométrica que irá ser útil na prova do Teorema da convergência pontual da série de Fourier.
Evidência gráfica de que, na melhor das hipóteses, será para a média dos limites laterais da função em cada ponto que convergirá a respectiva série de Fourier. Resolução de exercícios que seguem parte da prova deste resultado (válido sob certas condições).
Funções seccionalmente contínuas e funções seccionalmente suaves. Teorema da representação por séries de Fourier. Exercícios.
3.5 Aproximação
Fenómeno de Gibbs.
Resolução de exercícios que, em conjunto, acabam por provar um resultado de convergência uniforme para séries de Fourier, sob certas condições.
Teorema da aproximação, de Weierstrass.
4 Equações diferenciais ordinárias (EDOs)
4.1 Introdução
Primeiros exemplos de EDOs e de problemas de valor inicial (PVIs) a partir da 2ª lei de Newton.
EDOs e PVIs (ou problemas de Cauchy) em geral. Solução, solução geral, solução particular, solução singular, solução geral completa. Exemplos/exercícios.
Solução implícita. Exemplos/exercícios.
4.2 EDOs particulares de 1ª ordem
4.2.1 EDOs de variáveis separáveis
Definição. Método de determinação das soluções (também para correspondentes PVIs). Exemplos/exercícios, incluindo localização gráfica.
4.2.2 EDOs exactas
Definição. Método de determinação das soluções (pelo caminho, método de cálculo de derivadas parciais). Condição necessária para EDO ser exacta. Condição suficiente para EDO ser exacta. Exemplos/exercícios.
PVIs envolvendo EDOs exactas. Exercícios, com explicitação da solução.
Aplicação do Teorema das funções implícitas à solução (implícita) de um PVI para garantir a possibilidade da sua explicitação (localmente única) em certas condições.
Factor integrante. Os casos de dependência de somente uma das variáveis. Exercícios.
4.2.3 EDOs lineares de 1ª ordem
Definição. Fórmula para a solução geral completa. Exercícios.
Obtenção de EDO linear de 1ª ordem após mudança de variável dependente. Exercício.
A propósito de mudança de variáveis, referência a equações de tipo homogéneo, mesmo que, após mudança de variável, a EDO resultante não seja linear. Exercício.
Ainda a propósito de mudança de variáveis, referência ao abaixamento de ordem para certas EDOs incompletas de ordem superior a um. Exercício.
Aplicações.
4.3 Resultados de existência e unicidade para EDOs de 1ª ordem
Equivalência entre o PVI
(4)
\begin{align} \left\{ \begin{array}{l} y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{array} \right., \end{align}
com $f$ contínua, e a equação integral
(5)
\begin{align} y = y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y(t)) \, dt. \end{align}
Método das aproximações sucessivas para a determinação de solução para uma tal equação: o caso de $f(x,y)$ satisfazer uma condição de Lipschitz em relação a $y$ numa faixa $[a,b] \times \mathbb R$. Exemplos/exercícios. Critério para a verificação daquela condição de Lipschitz. Exemplo/exercício. Teorema de Picard (método das aproximações sucessivas — também chamado das iteradas de Picard — para o caso de $f(x,y)$ satisfazer uma condição de Lipschitz em relação a $y$ num rectângulo $[a,b] \times [c,d]$). Exemplo.
Teorema de Peano.
Breve enumeração dos métodos dados para a resolução de EDOs de 1ª ordem, incluindo, a propósito dos métodos em que se substitui a variável dependente, uma também breve referência às EDOs de Bernoulli. Indicação de que, no caso de EDOs de ordem 2 ou superior apenas se tratará o subcaso das EDOs lineares.
4.4 EDOs lineares de ordem superior (à 1ª)
Definição de EDO linear de ordem 2. Também definição de EDO homogénea associada. Estrutura da solução geral completa de uma EDO linear de ordem 2 como sendo a soma de uma solução particular da mesma com a solução geral completa da EDO homogénea associada.
4.4.1 EDOs lineares homogéneas de ordem 2
Estrutura da solução geral completa de uma EDO linear homogénea de ordem 2: combinação linear de um sistema fundamental de soluções, i.e., de duas soluções linearmente independentes. Exemplos/exercícios.
Método de determinação de um sistema fundamental de soluções no caso em que a EDO é também de coeficientes constantes, através da determinação das raízes do respectivo polinómio característico. Exemplos/exercícios.
4.4.2 EDOs lineares completas (i.e., não homogéneas) de ordem 2
Método dos coeficientes indeterminados para a determinação de uma solução particular nos casos em que $f(x)$ na EDO de coeficientes constantes
(6)
\begin{equation} y''+a_1y'+a_0y = f(x) \end{equation}
é de uma das formas $ce^{ax}$, $c_1 \sin (bx) + c_2 \cos(bx)$, um polinómio ou alguma combinação destas funções. Exemplos/exercícios.
Método da variação das constantes para a determinação de uma solução particular de (6). Exemplo/exercício.
4.4.3 EDOs lineares de ordem n e de coeficientes constantes
Definições. Estrutura da solução geral completa de uma EDO linear de ordem n como sendo a soma de uma solução particular da mesma com a solução geral completa da EDO homogénea associada.
Estrutura da solução geral completa de uma EDO linear homogénea de ordem n: combinação linear de um sistema fundamental de soluções, i.e., de n soluções linearmente independentes. Breve referência ao uso do wronskiano para efeitos da verificação da dependência ou independência linear.
Método de determinação de um sistema fundamental de soluções de uma EDO linear homogénea de ordem n e de coeficientes constantes através da determinação das raízes do respectivo polinómio característico. Exemplos/exercícios. Breve referência ao método dos coeficientes indeterminados para a determinação de uma solução particular de uma correspondente EDO completa. Exemplo/exercício.
4.5 Sistemas de EDOs lineares de 1ª ordem
Definição. Notação matricial/vectorial.
Sistemas homogéneos. Estrutura da solução geral completa, soluções linearmente independentes e wronskiano.
Exercício/exemplo de resolução no caso de sistema de 2 equações com matriz triangular.
Exercício/exemplo de resolução de um sistema de 2 equações por introdução de uma EDO linear de ordem 2, obtida por derivação de uma das EDOs do sistema. Correspondente PVI.
5 Transformada de Laplace e aplicações
Definição de transformada de Laplace. Exemplos/exercícios.
Condição suficiente para a existência de transformada de Laplace de uma função $f : [0,\infty[ \to \mathbb R$: continuidade por secções e ordem (ou tipo) exponencial (à direita).
Linearidade da transformação de Laplace. Exercício de aplicação.
Translação da variável na função original ou na sua transformada de Laplace. Exercícios.
A transformada de Laplace da derivada. Exercício. Iteração para obter a transformada de Laplace da segunda derivada, etc..
A derivada da transformada de Laplace e iteração para obter a segunda derivada da transformada de Laplace, etc..
Inversão da transformada de Laplace. Exercícios.
Resolução de PVIs relativos a EDOs lineares de coeficientes constantes usando transformadas de Laplace. Exercícios.
A transformada de Laplace do integral indefinido e o integral indefinido da transformada de Laplace.
A convolução de funções e a sua aplicação na inversão da transformada de Laplace.
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