Grupo 2

	Esta é a página de revisões do capítulo 1 referente ao grupo identificado no título desta página. P.f., não altere esse título. A ideia é as respostas às questões que se seguem reflectirem o que pensa o grupo como um todo. Apenas no caso de não ser possível chegar a um consenso é que poderá haver respostas alternativas a uma mesma questão. O prazo para o preenchimento desta página decorre até ao dia 9 de Março (inclusive), data a partir da qual será desactivada a capacidade de edição. Só após essa data é que o professor fará aqui algum comentário, incluindo uma apreciação sobre o nível a que a matéria em causa se encontra dominada pelos alunos (embora, se solicitado, possa antes disso esclarecer alguma dúvida sobre o que se pretende com cada pergunta). Referindo-se o comentário meramente ao desempenho do grupo, deve cada um dos seus elementos retirar dele as ilações que entender, de acordo com a sua contribuição no grupo. Em particular, e embora cada um possa ver as respostas de qualquer outro grupo e qualquer pessoa seja livre de copiar sem pensar algo que viu ou ouviu de outros, fazê-lo extensivamente significa estar a enganar-se a si próprio, pois nos testes estará por sua conta e, portanto, se não tiver entretanto aprendido a pensar por si, não será nessa altura que será capaz de o fazer.
	Cada elemento do grupo poderá usar o botão "Edit", no rodapé da página, para escrever as respostas nos locais assinalados. Cada rectângulo de resposta pode ser aumentado deslocando o seu canto inferior direito. Se necessário, o mesmo ou outro elemento do grupo pode editar o que já tiver sido escrito. Por questões de coerência, o sistema não permite que dois utilizadores diferentes estejam a editar a mesma página simultaneamente. No caso de haver uma tentativa nesse sentido, o sistema emitirá um correspondente aviso. Eventualmente, numa primeira fase, antes de passarem à escrita das respostas, poderão preferir trocar ideias através da escrita de "comentários" — ver parte inferior da página —, em especial se tiverem dificuldade em encontrar um tempo em comum para discussão verbal. Uma nota sobre os exemplos que se pedem nalgumas questões: se nada for exigido em contrário na questão em causa, podem ser usados exemplos das aulas ou exercícios das folhas.
	Apesar de os rectângulos de resposta não mostrarem nenhuma barra de ferramentas, podem usar dentro desses rectângulos o mesmo código markup que usam na janela de comentários. Assim, por exemplo, código LaTeX escrito entre [[$ e $]] ou entre [[math]] e [[/math]] reproduz adequadamente a expressão matemática que se pretende. Quem não esteja muito familiarizado com a estrutura do código LaTeX pode obter o que pretende através do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões. Se, ainda assim, o grupo achar complicado ou demasiado demorado usar este processo para responder às questões que envolvam a escrita de várias expressões matemáticas, pode optar por resolver essas questões em papel a entregar ao professor dentro do prazo estabelecido em cima, quer fazendo a entrega nesse suporte, quer digitalizando-o e carregando o ficheiro para esta página aqui (após entrar no modo de edição desta página, seleccionando "Edit"):
	As alterações que fizerem no modo de edição (inclusive um eventual ficheiro carregado para a página) só ficarão guardadas após seleccionarem o botão "Save" no fundo da página.
	Alunos que fazem parte deste grupo:
1:	O que entende por uma sucessão de funções? Dê um exemplo.
2:	O que significa uma sucessão de funções convergir pontualmente?
3:	Explique em abstracto como faria para averiguar se uma sucessão de funções converge pontualmente. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.
4:	O que significa uma sucessão de funções convergir uniformemente?
5:	Explique em abstracto como faria para averiguar se uma sucessão de funções converge uniformemente. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.
6:	Que indício gráfico nos pode levar a desconfiar que uma sucessão de funções não converge uniformemente? Use tal indício para construir uma sucessão de funções que lhe pareça não convergir uniformemente (pode, por exemplo, investigar com a ajuda do plug-in que usámos no capítulo 1). Depois determine analiticamente o que se passa na realidade.
7:	Qual a utilidade da proposição enunciada aqui? Isto é, de que maneiras a pode usar na resolução de um exercício? Exemplifique.
8:	Ainda relativamente à proposição referida na questão anterior: de uma observação, mesmo que superficial, da respectiva demonstração, sobressai uma técnica que pode ser útil noutros contextos. Que técnica é essa?
9:	Enuncie o teorema sobre a integração de sucessões de funções termo a termo. E diga qual a sua utilidade, isto é, diga de que maneiras o pode usar na resolução de um exercício. Apresente exemplos também.
10:	Ainda relativamente ao teorema referido na questão anterior: na demonstração feita na aula foi usada uma técnica que pode ser utilizada noutros contextos. Que técnica é essa?
11:	Enuncie o teorema sobre a derivação de sucessões de funções termo a termo. E diga qual a sua utilidade, isto é, de que maneiras o pode usar na resolução de um exercício? Apresente exemplos também.
12:	O que entende por uma série de funções? Dê um exemplo.
13:	O que significa uma série de funções convergir pontualmente? E o que é a soma de uma série convergente de funções?
14:	Explique em abstracto como faria para averiguar se uma série de funções converge pontualmente. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.
15:	O que significa uma série de funções convergir uniformemente?
16:	Explique em abstracto como faria para averiguar se uma série de funções converge uniformemente. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.
17:	Qual é a utilidade do critério de Weierstrass? Exemplifique.
18:	Ainda em relação ao critério de Weierstrass: na demonstração feita na aula foi usada uma técnica que já tinha sido usada anteriormente. Que técnica é essa?
19:	Prove que é válida para séries uma proposição correspondente à enunciada aqui, isto é, que a soma de uma série uniformemente convergente de funções contínuas é uma função contínua. Depois dê um exemplo de aplicação.
20:	Prove que também é válido para séries um teorema sobre integração termo a termo. Isto é, prove o seguinte teorema: Se a série $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ de funções contínuas converge uniformemente em $[a,b]$, então para qualquer $x_0$ fixo em $[a,b]$ a série de funções $\sum_{n=1}^\infty \big( \int_{x_0}^x u_n(t) \, dt \big)$ também converge uniformemente em $[a,b]$ e tem por soma $\int_{x_0}^x \big( \sum_{n=1}^\infty u_n(t) \big) \, dt$. Depois dê um exemplo de aplicação.
21:	Prove que também é válido para séries um teorema sobre derivação termo a termo. Isto é, prove o seguinte teorema: Se a série de funções $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ converge pontualmente para $f(x)$ em $[a,b]$, se as derivadas $u_n'(x)$ forem contínuas em $[a,b]$ e se a série $\sum_{n=1}^\infty u_n'(x)$ converge uniformemente em $[a,b]$, então esta última série converge (uniformemente) para $f'(x)$ em $[a,b]$. Depois dê um exemplo de aplicação.

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