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Esta é a página de revisões do capítulo 2 referente ao grupo identificado no título desta página. P.f., não altere esse título. A ideia é as respostas às questões que se seguem reflectirem o que pensa o grupo como um todo. Apenas no caso de não ser possível chegar a um consenso é que poderá haver respostas alternativas a uma mesma questão. O prazo para o preenchimento desta página decorre até ao dia 28 de Março (inclusive), data a partir da qual será desactivada a capacidade de edição. Só após essa data é que o professor fará aqui algum comentário, incluindo uma apreciação sobre o nível a que a matéria em causa se encontra dominada pelos alunos (embora, se solicitado, possa antes disso esclarecer alguma dúvida sobre o que se pretende com cada pergunta). Referindo-se o comentário meramente ao desempenho do grupo, deve cada um dos seus elementos retirar dele as ilações que entender, de acordo com a sua contribuição no grupo. Em particular, e embora cada um possa ver as respostas de qualquer outro grupo e qualquer pessoa seja livre de copiar sem pensar algo que viu ou ouviu de outros, fazê-lo extensivamente significa estar a enganar-se a si próprio, pois nos testes estará por sua conta e, portanto, se não tiver entretanto aprendido a pensar por si, não será nessa altura que será capaz de o fazer. |
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Cada elemento do grupo poderá usar o botão "Edit", no rodapé da página, para escrever as respostas nos locais assinalados. Cada rectângulo de resposta pode ser aumentado deslocando o seu canto inferior direito. Se necessário, o mesmo ou outro elemento do grupo pode editar o que já tiver sido escrito. Por questões de coerência, o sistema não permite que dois utilizadores diferentes estejam a editar a mesma página simultaneamente. No caso de haver uma tentativa nesse sentido, o sistema emitirá um correspondente aviso. Eventualmente, numa primeira fase, antes de passarem à escrita das respostas, poderão preferir trocar ideias através da escrita de "comentários" — ver parte inferior da página —, em especial se tiverem dificuldade em encontrar um tempo em comum para discussão verbal. Uma nota sobre os exemplos que se pedem nalgumas questões: se nada for exigido em contrário na questão em causa, podem ser usados exemplos das aulas ou exercícios das folhas. |
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Apesar de os rectângulos de resposta não mostrarem nenhuma barra de ferramentas, podem usar dentro desses rectângulos o mesmo código markup que usam na janela de comentários. Assim, por exemplo, código LaTeX escrito entre [[$ e $]] ou entre [[math]] e [[/math]] reproduz adequadamente a expressão matemática que se pretende. Quem não esteja muito familiarizado com a estrutura do código LaTeX pode obter o que pretende através do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões. Se, ainda assim, o grupo achar complicado ou demasiado demorado usar este processo para responder às questões que envolvam a escrita de várias expressões matemáticas, pode optar por resolver essas questões em papel a entregar ao professor dentro do prazo estabelecido em cima, quer fazendo a entrega nesse suporte, quer digitalizando-o e carregando o ficheiro para esta página aqui (após entrar no modo de edição desta página, seleccionando "Edit"): |
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As alterações que fizerem no modo de edição (inclusive um eventual ficheiro carregado para a página) só ficarão guardadas após seleccionarem o botão "Save" no fundo da página. |
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Alunos que fazem parte deste grupo: |
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| 1: |
O que entende por uma série de potências e os respectivos raio de convergência, intervalo (aberto) de convergência, domínio de convergência e soma da série? Dê um exemplo, incluindo os principais cálculos necessários à determinação do raio de convergência. |
| 2: |
O que pode dizer sobre a convergência uniforme de uma série de potências e as consequências em termos de continuidade da soma da série, integração termo a termo e derivação termo a termo? |
| 3: |
Indique duas possíveis técnicas para obter um desenvolvimento em série de potências para uma função a partir do conhecimento de um respectivo desenvolvimento para outra ou outras funções. Depois ilustre o uso de cada uma dessas técnicas com um exemplo à sua escolha. |
| 4: |
Dê agora um exemplo no sentido contrário ao da questão anterior, isto é, onde consiga obter a soma de uma série de potências a partir do conhecimento da(s) soma(s) de outra(s) série(s) de potências. |
| 5: |
O que entende por uma série de Taylor e por uma série de MacLaurin? Exemplifique, apresentando também os principais cálculos necessários à determinação dos termo gerais das séries. |
| 6: |
Dê um exemplo de uma função que não coincida com a soma da sua série de Taylor. |
| 7: |
Dê pelo menos dois exemplos de funções que coincidam com as somas das respectivas séries de Taylor. |
| 8: |
O que entende por polinómio de Taylor, fórmula de Taylor e resto da fórmula de Taylor. Exemplifique. |
| 9: |
Explique em abstracto como faria para determinar um majorante do erro que se comete ao aproximar o valor de uma função pelo valor de um seu polinómio de Taylor num ponto dado. Depois concretize para um exemplo à sua escolha. |
| 10: |
Explique em abstracto como faria para determinar uma ordem a considerar para um polinómio de Taylor de uma função de modo a aproximar o valor desta num ponto a menos de um erro especificado. Depois concretize para um exemplo à sua escolha. |
| 11: |
Interprete geometricamente o significado dos polinómios de Taylor e explique também o que são a linearização e a aproximação quadrática de uma função num (ou à volta de um) ponto. |
| 12: |
Seja $p(x) := \sum_{k=0}^n a_k x^k$ um polinómio de grau $n$. Diga (de preferência sem fazer muitas contas) qual é o seu polinómio de Taylor de ordem $n$ centrado em 1. E qual é o seu polinómio de Taylor de ordem $n+1$ com o mesmo centro? |
| 13: |
Descreva as linhas gerais da demonstração feita aqui. |
| 14: |
Qual o interesse das séries de potências, para além de permitirem a obtenção de valores aproximados de outras funções? |
Grupo 3
Comentários: