Teste

Esta é a página de revisões do capítulo 2 referente ao grupo identificado no título desta página. P.f., não altere esse título. A ideia é as respostas às questões que se seguem reflectirem o que pensa o grupo como um todo. Apenas no caso de não ser possível chegar a um consenso é que poderá haver respostas alternativas a uma mesma questão. O prazo para o preenchimento desta página decorre até ao dia 28 de Março (inclusive), data a partir da qual será desactivada a capacidade de edição. Só após essa data é que o professor fará aqui algum comentário, incluindo uma apreciação sobre o nível a que a matéria em causa se encontra dominada pelos alunos (embora, se solicitado, possa antes disso esclarecer alguma dúvida sobre o que se pretende com cada pergunta). Referindo-se o comentário meramente ao desempenho do grupo, deve cada um dos seus elementos retirar dele as ilações que entender, de acordo com a sua contribuição no grupo. Em particular, e embora cada um possa ver as respostas de qualquer outro grupo e qualquer pessoa seja livre de copiar sem pensar algo que viu ou ouviu de outros, fazê-lo extensivamente significa estar a enganar-se a si próprio, pois nos testes estará por sua conta e, portanto, se não tiver entretanto aprendido a pensar por si, não será nessa altura que será capaz de o fazer.

Cada elemento do grupo poderá usar o botão "Edit", no rodapé da página, para escrever as respostas nos locais assinalados. Cada rectângulo de resposta pode ser aumentado deslocando o seu canto inferior direito. Se necessário, o mesmo ou outro elemento do grupo pode editar o que já tiver sido escrito. Por questões de coerência, o sistema não permite que dois utilizadores diferentes estejam a editar a mesma página simultaneamente. No caso de haver uma tentativa nesse sentido, o sistema emitirá um correspondente aviso. Eventualmente, numa primeira fase, antes de passarem à escrita das respostas, poderão preferir trocar ideias através da escrita de "comentários" — ver parte inferior da página —, em especial se tiverem dificuldade em encontrar um tempo em comum para discussão verbal. Uma nota sobre os exemplos que se pedem nalgumas questões: se nada for exigido em contrário na questão em causa, podem ser usados exemplos das aulas ou exercícios das folhas.

Apesar de os rectângulos de resposta não mostrarem nenhuma barra de ferramentas, podem usar dentro desses rectângulos o mesmo código markup que usam na janela de comentários. Assim, por exemplo, código LaTeX escrito entre [[$ e $]] ou entre [[math]] e [[/math]] reproduz adequadamente a expressão matemática que se pretende. Quem não esteja muito familiarizado com a estrutura do código LaTeX pode obter o que pretende através do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões. Se, ainda assim, o grupo achar complicado ou demasiado demorado usar este processo para responder às questões que envolvam a escrita de várias expressões matemáticas, pode optar por resolver essas questões em papel a entregar ao professor dentro do prazo estabelecido em cima, quer fazendo a entrega nesse suporte, quer digitalizando-o e carregando o ficheiro para esta página aqui (após entrar no modo de edição desta página, seleccionando "Edit"):

As alterações que fizerem no modo de edição (inclusive um eventual ficheiro carregado para a página) só ficarão guardadas após seleccionarem o botão "Save" no fundo da página.

Alunos que fazem parte deste grupo:

1:

O que entende por uma série de potências e os respectivos raio de convergência, intervalo (aberto) de convergência, domínio de convergência e soma da série? Dê um exemplo, incluindo os principais cálculos necessários à determinação do raio de convergência.

antoniocantonioc: bla bla $\frac{x}{2}$

acaetanoacaetano: certo?

2:

O que pode dizer sobre a convergência uniforme de uma série de potências e as consequências em termos de continuidade da soma da série, integração termo a termo e derivação termo a termo?

3:

Indique duas possíveis técnicas para obter um desenvolvimento em série de potências para uma função a partir do conhecimento de um respectivo desenvolvimento para outra ou outras funções. Depois ilustre o uso de cada uma dessas técnicas com um exemplo à sua escolha.

4:

Dê agora um exemplo no sentido contrário ao da questão anterior, isto é, onde consiga obter a soma de uma série de potências a partir do conhecimento da(s) soma(s) de outra(s) série(s) de potências.

5:

O que entende por uma série de Taylor e por uma série de MacLaurin? Exemplifique, apresentando também os principais cálculos necessários à determinação dos termo gerais das séries.

6:

Dê um exemplo de uma função que não coincida com a soma da sua série de Taylor.

7:

Dê pelo menos dois exemplos de funções que coincidam com as somas das respectivas séries de Taylor.

8:

O que entende por polinómio de Taylor, fórmula de Taylor e resto da fórmula de Taylor. Exemplifique.

9:

Explique em abstracto como faria para determinar um majorante do erro que se comete ao aproximar o valor de uma função pelo valor de um seu polinómio de Taylor num ponto dado. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.

10:

Explique em abstracto como faria para determinar uma ordem a considerar para um polinómio de Taylor de uma função de modo a aproximar o valor desta num ponto a menos de um erro especificado. Depois concretize para um exemplo à sua escolha.

11:

Interprete geometricamente o significado dos polinómios de Taylor e explique também o que são a linearização e a aproximação quadrática de uma função num (ou à volta de um) ponto.

12:

Seja $p(x) := \sum_{k=0}^n a_k x^k$ um polinómio de grau $n$. Diga (de preferência sem fazer muitas contas) qual é o seu polinómio de Taylor de ordem $n$ centrado em 1. E qual é o seu polinómio de Taylor de ordem $n+1$ com o mesmo centro?

13:

Descreva as linhas gerais da demonstração feita aqui.

14:

Qual o interesse das séries de potências, para além de permitirem a obtenção de valores aproximados de outras funções?


Comentários:

Add a New Comment
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License