Ex. extra 3

Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica de período $2 \pi$ e diferenciável. Designe, como habitualmente, por $a_n$ e $b_n$ os seus coeficientes de Fourier.

1. Mostre que então $f'$ é também periódica de período $2\pi$ (isto é essencialmente o ex. 1.(a) da folha 4).

2. Suponha que $f'$ é contínua (logo localmente integrável) e designe por $a_n'$ e $b_n'$ os seus coeficientes de Fourier, respectivamente do tipo $a$ e do tipo $b$. Mostre que

(1)
\begin{align} a_0' = 0; \quad a_n' = n \, b_n, \;\; \forall n \in \mathbb N; \quad b_n' = -n \, a_n, \;\; \forall n \in \mathbb N. \end{align}

3. Observe que $xy \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2),\: \forall x,y \in \mathbb R$, e mostre que

(2)
\begin{align} |a_n| \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} + |b_n'|^2 \right), \;\; |b_n| \leq \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} + |a_n'|^2 \right),\;\; \forall n \in \mathbb N. \end{align}

4. Mostre que a série numérica

(3)
\begin{align} \sum_{n=1}^\infty (|a_n| + |b_n|) \end{align}

é convergente.

5. Conclua que a série de Fourier de $f$ converge uniformemente para $f$. E que mesmo a respectiva série dos módulos também é convergente.

Obs.: É possível provar que a conclusão anterior também é válida se em vez da hipótese de continuidade de $f'$ supusermos somente que $f$ é contínua e seccionalmente suave (considere isto um exercício). E, é claro, o resultado vale também com qualquer outro período em vez de $2 \pi$.

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