Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica de período $2 \pi$ e diferenciável. Designe, como habitualmente, por $a_n$ e $b_n$ os seus coeficientes de Fourier.
1. Mostre que então $f'$ é também periódica de período $2\pi$ (isto é essencialmente o ex. 1.(a) da folha 4).
2. Suponha que $f'$ é contínua (logo localmente integrável) e designe por $a_n'$ e $b_n'$ os seus coeficientes de Fourier, respectivamente do tipo $a$ e do tipo $b$. Mostre que
(1)3. Observe que $xy \leq \frac{1}{2}(x^2+y^2),\: \forall x,y \in \mathbb R$, e mostre que
(2)4. Mostre que a série numérica
(3)é convergente.
5. Conclua que a série de Fourier de $f$ converge uniformemente para $f$. E que mesmo a respectiva série dos módulos também é convergente.
Obs.: É possível provar que a conclusão anterior também é válida se em vez da hipótese de continuidade de $f'$ supusermos somente que $f$ é contínua e seccionalmente suave (considere isto um exercício). E, é claro, o resultado vale também com qualquer outro período em vez de $2 \pi$.