Ex. extra 4

Considere a EDO linear de 2ª ordem

(1)
\begin{equation} y''+a_1(x)y'+a_0(x)y = f(x) \end{equation}

e a correspondente EDO homogénea associada

(2)
\begin{equation} y''+a_1(x)y'+a_0(x)y = 0. \end{equation}

1. Supondo que $y_p$ e $y_g$ são, respectivamente, soluções de (1) e de (2), mostre que $y_g + y_p$ é solução de (1).

2. Reciprocamente, supondo agora que $y$ e $y_p$ são ambas soluções de (1), mostre que $y - y_p$ é solução de (2).

3. Finalmente, certifique-se que o que acabou de mostrar garante que se $y_p$ for uma solução particular de (1) e se $y_g$ for a solução geral completa de (2), então

(3)
\begin{equation} y_g + y_p \end{equation}

é a solução geral completa de (1).

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