Ex. extra 5

Considere a EDO linear homogénea de ordem 2 e de coeficientes constantes

(1)

\begin{equation} y''+a_1y'+a_0y = 0 \end{equation}

no caso em que a sua equação característica

(2)

\begin{equation} m^2+a_1m+a_0 = 0 \end{equation}

tem apenas uma raiz real dada por

(3)

\begin{align} m = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2-4a_0}}{2} = -\frac{a_1}{2}, \end{align}

já que o binómio discriminante $a_1^2-4a_0$ é nulo, ou seja, $a_0 = \frac{a_1^2}{4}$.

1. Comece por observar que então a EDO (1) se pode escrever como

(4)

\begin{align} y''+a_1y'+\frac{a_1^2}{4}y = 0. \end{align}

2. Depois mostre que se substituir $y$ por $C(x)e^{-\frac{a_1}{2}x}$ em (4) e fizer as contas conclui que $C(x)$ terá obrigatoriamente que ser da forma $c_1x+c_2$, com $c_1$ e $c_2$ constantes, e em particular que

(5)

\begin{align} x\, e^{-\frac{a_1}{2}x} \end{align}

é uma solução de (4) (e portanto também de (1) nas condições dadas).

Obs.: Isto é uma aplicação particular do chamado método da variação das constantes para a determinação de uma segunda solução (linearmente independente da primeira) para uma EDO linear de 2ª ordem (no caso presente, pelo que foi explicado nas aulas já se sabia que $C\, e^{-\frac{a_1}{2}x}$ era uma primeira solução particular da EDO dada; alterando o $C$ para uma função $C(x)$ a descobrir — ou, como também se diz, fazendo variar a constante (o que dá o nome ao método) — foi possível determinar essa segunda solução).