Ex. extra 6

1. Seja $f : [0,\infty[ \to \mathbb R$ de ordem exponencial à direita e tal que $f'$ existe e é contínua. Seja $F$ a transformada de Laplace de $f$. Mostre que

(1)
\begin{eqnarray} L[f'(t)](s) & = & [e^{-st} f(t)]_{t=0}^{t=\infty} + s \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \\ & = & s F(s) - f(0), \end{eqnarray}

desde que os valores de $s$ sejam tomados suficientemente grandes (tente ser o mais preciso possível aqui).

2. Mostre que a expressão tabelada para $L[\cos(a t)](s)$ se pode obter da de $L[\sin(a t)](s)$ usando a propriedade anterior.

3. Aplique por duas vezes o resultado do exercício 1 acima para concluir, no caso de $f, f'$ serem ambas de ordem exponencial à direita e de $f''$ existir e ser contínua, que

(2)
\begin{equation} L[f''(t)](s) = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0), \end{equation}

desde que os valores de $s$ sejam tomados suficientemente grandes (tente ser o mais preciso possível aqui).

4. Convença-se de que, iterando o processo, no caso de $f, f', \ldots, f^{(n-1)}$ serem todas de ordem exponencial à direita e de $f^{(n)}$ existir e ser contínua, então

(3)
\begin{align} L[f^{(n)}(t)](s) = s^n F(s) - s^{n-1} f(0) - \ldots - s f^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0), \end{align}

novamente desde que os valores de $s$ sejam tomados suficientemente grandes (tente ser o mais preciso possível aqui).

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