Se quiser discutir a resolução de um exercício desta folha, use a zona de comentários, em baixo, não se esquecendo de identificar o número do exercício em causa.
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Se não estiver muito familiarizado com a estrutura do código LaTeX pode obter o que pretende através do site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php, onde é possível construírem-se expressões matemáticas carregando em botões.
Comentários:
Gostava de saber dada um EDO, de qualquer ordem, quando é que é recomendável utilizar a transformada de Laplace para resolver a EDO, ou seja, se existe alguma regra ou é por intuição.
Por exemplo para resolver determinar as soluções das EDO's do exercício 5, seria recomendado utilizar o método da equação característica ou o da transformada de Laplace.
Para se poder usar o método da transformada de Laplace com a informação que foi dada nas aulas, a EDO deverá ser linear de coeficientes constantes.
Para usar o método da equação característica é ainda necessário que a EDO seja homogénea (i.e., 2º membro igual a zero), embora, no caso de não o ser, depois se possa tentar obter uma solução particular (a somar à solução geral da homogénea associada) com base no aspecto do 2º membro.
A escolha não é simples. Eu diria que se existirem também condições iniciais dadas e se for fácil obter a transformada de Laplace do 2º membro, seria de tentar o método da transformada de Laplace, em especial se o aspecto do 2º membro não nos sugerir que tipo de solução particular poderíamos procurar. Mesmo quando não há condições iniciais dadas, o método da transformada de Laplace pode ser então o mais aconselhável, nesse caso (não se sabendo os valores de $y(0)$, $y'(0)$, etc.) usando constantes desconhecidas para os valores iniciais.
Se a EDO linear de coeficientes constantes for homogénea, deverá usar-se o método da equação característica.
No caso do exercício 5, há duas ou três alíneas que, de acordo com o acabado de expor, se poderiam tentar resolver pelo método da transformada de Laplace (embora nas aulas nós tivéssemos usado o outro método). Recordo, ainda, que há casos (mesmo para EDOs lineares de coeficientes constantes) que nem um nem o outro método são fáceis de usar. Por exemplo, para resolvermos o 5.b) usámos o método da variação das constantes (enfim, após ter-se usado o método da equação característica para obter a solução geral da EDO homogénea associada).
Neste exercício, x1 dá-me a solução correcta. No entanto, x2 da-me uma solução com 3 constantes, isto é, x2 = -2C1e^(-t) - 2C2e^3t + C3e^t. Usei a fórmula para a resolução de EDO's lineares de 1ª ordem e não encontro o erro na minha resolução.
Esse exercício foi resolvido numa das aulas, embora talvez sem se ter feito referência à folha de exercícios. Mas, pelo "sintoma", provavelmente substituíste a solução geral obtida para $x_1$ na 2ª equação e resolveste-a em ordem a $x_2$, o que terá feito aparecer mais uma constante. Em vez disso, o que deverás fazer é substituir o $x_1$ e a sua derivada na 1ª equação, que deixa então de ter derivadas incógnitas e se resolve facilmente em ordem a $x_2$ sem a introdução de mais nenhuma constante.