Hoje a parte final do exercício 1.(c) da folha 1 não correu como esperava. Aparentemente estava a apontar para a ausência de convergência uniforme quando eu já sabia de antemão que isso não era verdade (além de que a representação gráfica dava fortes indícios de existência de convergência uniforme).
Recordo que se tinha chegado à conclusão de que
(1)e que o majorante no segundo membro podia ser mesmo atingido , o que nos levou a concluir que
(2)No entanto, não se pode concluir que
(3)porque neste caso o majorante em (1) pode não ser atingido . De facto, toda a dedução começou com a observação de que
(4)e que tanto -1 como 1 podem ser atingidos. Isso é verdade se $x$ puder variar à vontade em $\mathbb{R}$, pois desse modo $\frac{x}{n}$ pode alcançar qualquer valor angular. No entanto, se restringirmos a variação de $x$, por exemplo, a $[-1,1]$, então $\frac{x}{n}$ só atinge valores em $[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$, logo, dependendo do $n$, os valores angulares que realmente se conseguem atingir gravitam à volta de zero, e a "atracção" pelo zero será tanto maior quanto maior for o $n$ que estiver a ser considerado. Ora, se os ângulos se mantêm próximos de zero, o mesmo acontece aos respectivos valores do seno e, portanto, é impossível obter-se -1 ou 1 ou qualquer coisa parecida. Este tipo de raciocínio funciona também com $[-r,r]$ em vez de $[-1,1]$.
Uma possível maneira de resolver o problema quando estamos neste caso (ii) do exercício é manter a abordagem através de derivadas. Em princípio o módulo atrapalha para esse efeito, mas, se repararmos que
(5)é uma função ímpar, então temos que
(6)e portanto o cálculo pode prosseguir da seguinte maneira:
(7)logo a função cresce em $[0,r]$ e, portanto, o supremo é atingido quando $x=r$, ou seja, conjugando com (6),
(8)Calculando agora o limite desta expressão quando $n \to \infty$, sai o esperado valor 0 que permite concluir a convergência uniforme da sucessão.
Ufa!