Na aula de hoje referi o Teorema da função implícita (ou das funções implícitas) para garantir que, em certas condições, numa expressão como
(1)com $C$ constante e $U$ uma função real de duas variáveis reais definida pelo menos num círculo centrado num ponto $(x_0,y_0)$, é possível garantir a existência de uma função $y(x)$ definida num intervalo aberto $I$ contendo $x_0$ tal que
(2)E que, se $I$ for escolhido suficientemente pequeno, só há uma função $y(x)$ nessas condições nesse mesmo intervalo.
Como creio não ter indicado todas as hipóteses que se sabe garantirem tal resultado, aqui ficam:
$U$ com ambas as derivadas parciais contínuas no seu domínio e $\frac{\partial U}{\partial y}(x_0,y_0) \not= 0$.
Além disso, a unicidade refere-se a $y(x)$ com derivada contínua (e até é possível dar-se uma fórmula para esta derivada em termos das derivadas parciais de $U$).
Este resultado apareceu a propósito de explicitação de solução de um PVI para o qual já tivesse sido determinada solução na forma implícita
(3)Na verdade, embora muitas vezes os exercícios terminem com tal forma implícita, em rigor, não sendo claro à partida se esta esconde ou não uma solução $y(x)$, isto deveria ser garantido (pelo menos em teoria), para se falar propriamente em existência de solução.