Quando ilustrei a ideia de substituição conveniente da variável dependente numa EDO, para a reduzir ao caso de uma EDO com tratamento conhecido, acabei por não referir a situação das EDOs de Bernoulli (as quais, no entanto, aparecem referidas no exercício 1 da folha prática nº 8).
Começo pela definição: uma EDO diz-se de Bernoulli se for da forma
(1)onde $a(x)$ e $b(x)$ são funções contínuas dadas num intervalo e $\alpha$ é um nº real dado e diferente de 0 e de 1 (observe-se que a EDO seria linear se $\alpha = 0$ ou se $\alpha = 1$).
A ideia para a resolução de uma EDO de Bernoulli é fazer-se a mudança de variável dada por $u = y^{1-\alpha}$, de modo a transformar tal EDO numa que seja linear…
Exemplo
A EDO $y'+y=\frac{x}{y}$ é de Bernoulli (com $\alpha = -1$). Fazendo $u=y^2$ obtém-se $u'=2yy'$ e a EDO transforma-se em
(2)cuja solução geral completa é (usando a fórmula para a resolução de EDOs lineares) $u = -\frac{1}{2} + x + C e^{-2x}$. Voltando à variável $y$ obtém-se a solução (na forma implícita)
(3)para a EDO dada (ou, mais precisamente, para a EDO $yy'+y^2 = x$, que é equivalente à dada excepto no facto de aqui não ser necessária a restrição $y \not= 0$).