Aproximação, de Weierstrass

Proposição

Seja $f : [a,b] \to \mathbb R$ contínua. Então

(1)
\begin{align} \forall \varepsilon > 0, \exists \mbox{ polinómio } P \mbox{ em } x : \forall x \in [a,b],\; |f(x) - P(x)| < \varepsilon. \end{align}

Por outras palavras, tal $f$ pode ser uniformemente aproximada por funções polinomiais.

Demonstração

Na realidade, faremos aqui apenas um esquema da demonstração:

1. Usa-se a continuidade uniforme de $f$ em $[a,b]$ (a qual é garantida pela continuidade da função juntamente com o facto de o domínio ser um intervalo fechado e limitado) para subdividir este intervalo em subintervalos $[\alpha, \beta]$ onde a variação entre valores da função é inferior, digamos, a $\varepsilon/4$.

2. Considera-se uma função poligonal $F$ coincidente com $f$ nos pontos do tipo $\alpha$ e $\beta$, de modo a que $F$ em cada $[\alpha,\beta]$ seja obtida por interpolação linear; estende-se depois $F$ a um intervalo $[-L,L]$ tal que $]-L,L[ \supset [a,b]$ fazendo $F(-L)=F(L)=0$ e usando interpolação linear em $[-L,a]$ e $[b,L]$.

3. Aplica-se o Teorema da representação por séries de Fourier a esta função $F$, de modo a obter-se uma aproximação uniforme de $F$ através de polinómios trigonométricos.

4. Usam-se os desenvolvimentos em série de Taylor para o seno e o cosseno, truncando-os com controlo dos erros que assim se cometem, para se obterem aproximações através de polinómios de Taylor.

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