Continuidade

Proposição

Se uma sucessão $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de funções contínuas converge uniformemente para uma função $f$ num domínio $D$, então $f$ é também uma função contínua em $D$.

Demonstração

Seja $x_0$ um ponto qualquer em $D$, onde queremos provar que $f$ é contínua.

Da hipótese da convergência uniforme resulta que, qualquer que seja o $\varepsilon > 0$, existe uma ordem $n_0 = n_0(\varepsilon) \in \mathbb{N}$ a partir da qual (isto é, para $n \geq n_0$) se tem

(1)
\begin{align} |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon/3 \end{align}

qualquer que seja o $x \in D$ (ou seja, não apenas para o $x_0$, e a ordem $n_0$ não depende de $x$).

É claro que (1) vale também quando $x=x_0$, caso em que se escreve

(2)
\begin{align} |f_n(x_0) - f(x_0)| < \varepsilon/3. \end{align}

Por seu lado, a hipótese de continuidade de qualquer $f_n$ em $x_0$ garante que, para o mesmo $\varepsilon$, existe um $\delta = \delta(\varepsilon,n) > 0$ tal que para todo o $x \in D$ que verifica $|x-x_0| < \delta$ se tem

(3)
\begin{align} |f_n(x) - f_n(x_0)| < \varepsilon/3. \end{align}

Então, mantendo ainda o mesmo $\varepsilon$ e fixando agora um dos $n \geq n_0=n_0(\varepsilon)$ e, depois, um $\delta = \delta(\varepsilon,n)$ correspondente, tem-se para todo o $x \in D$ tal que $|x-x_0| < \delta$ que tanto (1), como (2), como (3) se verificam e, portanto,

(4)
\begin{align} |f(x)-f(x_0)| \leq |f(x)-f_n(x)| + |f_n(x)-f_n(x_0)| + |f_n(x_0)-f(x_0)| < \varepsilon. \end{align}

Ou seja, obtém-se a continuidade de $f$ em qualquer ponto $x_0 \in D$, como queríamos demonstrar.

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