Fórmula de Taylor

Proposição

Seja $f$ uma função real diferenciável até à ordem $n+1$ num intervalo que contenha os pontos $c$ e $x$. Então

(1)

\begin{align} f(x) = f(c) + f'(c) (x-c) + f''(c) \frac{(x-c)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(c) \frac{(x-c)^n}{n!} + f^{(n+1)}(\xi) \frac{(x-c)^{n+1}}{(n+1)!}, \end{align}

para algum $\xi$ estritamente entre $c$ e $x$.

Demonstração

Designe-se

(2)

\begin{align} K := \frac{f(x) - f(c) - f'(c) (x-c) - f''(c) \frac{(x-c)^2}{2!} - \ldots - f^{(n)}(c) \frac{(x-c)^n}{n!}}{(x-c)^{n+1}} \end{align}

e considere-se a função real $F$ definida no intervalo de extremos $c$ e $x$ por

(3)

\begin{align} F(y) := f(x) - f(y) - f'(y) (x-y) - f''(y) \frac{(x-y)^2}{2!} - \ldots - f^{(n)}(y) \frac{(x-y)^n}{n!} - K (x-y)^{n+1}. \end{align}

As hipóteses garantem que o Teorema de Rolle é aplicável a $F$, o que permite concluir a existência de $\xi$ estritamente entre $c$ e $x$ verificando

(4)

\begin{align} F'(\xi)=0. \end{align}

Fazendo as contas no membro esquerdo de (4) e resolvendo essa equação em ordem a $K$ obtém-se

(5)

\begin{align} K = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}. \end{align}

Conjugando com (2), a proposição fica provada.

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