Parseval

Proposição

Seja $L>0$ e seja $f : [-L,L] \to \mathbb R$ integrável (à Riemann). Então verifica-se a identidade de Parseval:

(1)

\begin{align} \frac{1}{L} \int_{-L}^L [f(x)]^2\, dx = \frac{1}{2}a_0^2 + \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2), \end{align}

onde os $a_n$ e os $b_n$ são os coeficientes de Fourier de $f$.

Demonstração

Não vamos fazer propriamente uma demonstração, pois vamos reduzir o argumento a um resultado essencial cuja prova (que não faremos) é longa: para uma função como no enunciado acima, a respectiva série de Fourier converge em média quadrática para a função, isto é,

(2)

\begin{align} \lim_{N \to \infty} \int_{-L}^L [f(x) - s_N(x)]^2\, dx = 0, \end{align}

onde

(3)

\begin{align} s_N(x) := \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \Big(a_n \cos\big(\frac{n\pi x}{L}\big) + b_n \sin\big(\frac{n\pi x}{L}\big)\Big), \quad x \in [-L,L], \quad N \in \mathbb N. \end{align}

Na verdade, conjugando este resultado com a fórmula (4) do ex. extra 1 (adaptada ao caso geral, onde em vez de $\pi$ se deve ler $L$), a conclusão (1) em cima sai imediatamente.

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