Proposição
Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica de período $2L>0$ e seccionalmente suave. Então a série de Fourier de $f$ converge, em cada $x \in \mathbb R$, para $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$.
Demonstração
Lidamos apenas com o caso $L=\pi$, pois o caso geral pode tratar-se de maneira idêntica.
Como das hipóteses sai a integrabilidade local de $f$ e a existência de limites laterais finitos de $f$ em todos os pontos de $\mathbb R$, o ex. extra 2 é aplicável e podemos, portanto, escrever, para cada $x \in \mathbb R$ e $N \in \mathbb N$,
(1)A conclusão sairá então se o Lema de Riemann-Lebesgue for aplicável aos dois integrais acima, ou seja, se as funções
(2)forem integráveis em $[0,\pi]$. A única dúvida aqui prende-se com o que se passa junto a 0. No caso, por exemplo, de existência de limites finitos quando $u \to 0+$, o facto de $f$ ser, em particular, seccionalmente contínua, garantirá tal integrabilidade.
É aqui que se tira o potencial todo da hipótese de $f$ ser seccionalmente suave, pois esse facto conjugado com o Teorema do valor médio, de Lagrange, garante que
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