Representação por séries de Fourier

Proposição

Seja $f : \mathbb R \to \mathbb R$ periódica de período $2L>0$ e seccionalmente suave. Então a série de Fourier de $f$ converge, em cada $x \in \mathbb R$, para $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$.

Demonstração

Lidamos apenas com o caso $L=\pi$, pois o caso geral pode tratar-se de maneira idêntica.

Como das hipóteses sai a integrabilidade local de $f$ e a existência de limites laterais finitos de $f$ em todos os pontos de $\mathbb R$, o ex. extra 2 é aplicável e podemos, portanto, escrever, para cada $x \in \mathbb R$ e $N \in \mathbb N$,

(1)
\begin{eqnarray} 0 & \leq & \Big| s_N(x) - \frac{f(x+0)+f(x-0)}{2} \Big| \\ \\ & \leq & \Big| \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{f(x+u)-f(x+0)}{2 \sin \frac{u}{2}} \sin \big[\big(N+\frac{1}{2}\big)u\big] \, du \Big| \;\; + \;\; \Big| \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac{f(x-u)-f(x-0)}{2 \sin \frac{u}{2}} \sin \big[\big(N+\frac{1}{2}\big)u\big] \, du \Big|, \end{eqnarray}

A conclusão sairá então se o Lema de Riemann-Lebesgue for aplicável aos dois integrais acima, ou seja, se as funções

(2)
\begin{align} u \mapsto \frac{f(x+u)-f(x+0)}{2 \sin \frac{u}{2}} \quad \mbox{e} \quad u \mapsto \frac{f(x-u)-f(x-0)}{2 \sin \frac{u}{2}} \end{align}

forem integráveis em $[0,\pi]$. A única dúvida aqui prende-se com o que se passa junto a 0. No caso, por exemplo, de existência de limites finitos quando $u \to 0+$, o facto de $f$ ser, em particular, seccionalmente contínua, garantirá tal integrabilidade.

É aqui que se tira o potencial todo da hipótese de $f$ ser seccionalmente suave, pois esse facto conjugado com o Teorema do valor médio, de Lagrange, garante que

(3)
\begin{align} \lim_{u \to 0+} \frac{f(x \pm u)-f(x \pm 0)}{2 \sin \frac{u}{2}} = \lim_{u \to 0+} \frac{f(x \pm u)-f(x \pm 0)}{u} \lim_{u \to 0+} \frac{\frac{u}{2}}{\sin \frac{u}{2}} = \pm f'(x \pm 0) \in \mathbb R. \end{align}

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