Considere a afirmação:
Seja $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão de funções reais contínuas pontualmente convergente para uma função real $f$. Seja $a$ um ponto interior ao domínio comum $D \subset \mathbb{R}$ destas funções. Então
(1)(Obs.: A única diferença entre esta afirmação e a do quiz3 é o tipo de convergência suposto: a hipótese de convergência uniforme do quiz3 foi aqui substituída pela hipótese de convergência pontual. Adenda: na verdade, por lapso tinha também suprimido a hipótese da continuidade das funções $f_n$, que voltei agora a incluir de modo a que a diferença em relação ao quiz3 seja exactamente o que já tinha sido anteriormente escrito nesta observação.).
Se concorda, seleccione o + em baixo; se discorda, seleccione o -. Se mudar de ideias, pode sempre cancelar a sua escolha (seleccione x) e fazer a outra (ou poderá seleccionar logo a outra, que a anterior será então anulada). Se, no rodapé da página, seleccionar a opção "Rate" poderá aceder à lista dos colegas que já optaram por uma das hipóteses. Se conhecer algum deles que tenha feito a escolha contrária à sua, por que não conversarem para ver se chegam à resposta correcta?
Comentários:
Indicar argumentos a favor como resposta a este post.
Ok, como viste que não era uma coisa que saltasse à vista, optaste por uma abordagem mais sistemática, o que acho uma óptima ideia. Mas, se vais ser sistemático, então convém que o sejas até ao fim. Destacaste cada uma das quatro passagens mas só indicaste justificações para duas delas. Ficam, portanto, a faltar duas justificações.
A justificação, (neste caso terá de ser imposição!) será $f_n$ e $f$ serem continuas em $a$. Tendo em conta que isso não é garantido por hipótese, vou ter que votar contra novamente!
A tua última resposta fez-me reparar num lapso no enunciado, que acabei de corrigir e está explicado na adenda escrita a azul em cima. Não sei se isto te obriga a alterares a tua conclusão ou não…
Vou continuar na zona dos argumentos contra.
Indicar argumentos contra como resposta a este post.
Se a convergência não é uniforme não podemos garantir que para todo o domínio $\lim_{n \rightarrow \inf} f_n(a) = f(a)$
Para garantires $\lim_{n \to \infty} f_n(a) = f(a)$ para todo o $a$ no domínio precisas mesmo da convergência uniforme?… A mim parece-me uma consequência (ou a própria definição?) de convergência pontual!
Certo!estava a fazer confusão e mesmo assim não me tinha explicado bem!se tivesse explicado bem o que estava a pensar ia escrever "… e $f(a)$ vai ser igual independentemente do valor de $a$ ".
Mas já percebi que mesmo quando $f_n(a)$ converge pontualmente para o mesmo valor qualquer que seja $a$, não significa que exista convergência uniforme.
A afirmação em cima só é verdade quando $f_n(x)$ converge pontualmente para o mesmo valor em todo o seu domínio. Por exemplo se $f_n=\frac{1}{nx} , D=\Re^+$ a afirmação é verdadeira.
Cometes aqui dois erros de raciocínio:
O exemplo não seria para provar. Pensei $f_(a)=c=f(x), \forall x \Leftrightarrow \lim_{x \to a} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{x \to a} c = c$.
Mas pensando (acho que melhor!) não é necessário que exista $c$, basta apenas que exista $f$, que nós é garantido por hipótese.
Por isso mudando de ideias…
temos $f_n(x)$, se fizermos $x\to a$ obtemos $f_n(a)$ , se fizermos $n\to\infty$ obtemos $f(a)$. (def. de convergência pontual)
temos $f_n(x)$, se fizermos $n\to\infty$ obtemos $f(x)$ (por hipótese existe), se fizermos $x\to a$ obtemos $f(a)$.
Parece-me agora assim que a afirmação é verdadeira!
Como mudaste de opinião, vou continuar a nossa conversa na zona de argumentos a favor, em cima.
Por hipótese $f_n$ são funções contínuas e pontualmente convergentes para $f$.
Como a convergência pontual para $f$ não é suficiente para garantir a continuidade de $f$, $f$ pode não ser continua, e por isso a afirmação é falsa.
Chegaste essencialmente onde eu queria, mas há um pormenor subtil cujo esclarecimento seria a "cereja no cimo do bolo":
Embora os teus argumentos levem a que a construção feita na afirmação não tenha sustentação, há uma questão relacionada e interessante que se pode colocar: haverá um caminho diferente que permita concluir a troca entre limites com as mesmas hipóteses do enunciado?
Se encontrares um exemplo de sucessão de funções nas condições dadas para a qual o cálculo directo dos dois limites iterados dê diferente, podes chegar a esta conclusão mais forte: que não existe maneira de provar a igualdade entre tais limites só com as hipóteses dadas.
$f_n=x^n$ e $D\in ]0,1]$ é continua para todo $D$ e é pontualmente convergente para
(1)se $a=1$ não existe $\lim_{x \to 1} f(x)$ logo a afirmação é falsa.
Claro que existe $\lim_{x \to 1} f(x)$! É igual a 0.
Este é um erro (infelizmente) comum e explorei-o na aula de apresentação. Se estiveste presente, revê o exemplo que dei nessa altura. Caso contrário, confere com um colega. Ou pensa melhor…
Mas a função que apresentas é uma boa escolha para aquilo que se pretende.
P.S.: Se não vires botão de "reply" para este post, é porque chegámos ao fim da sequência de posts que podem ser indentados. Para continuar, faz "reply" à mensagem anterior.
Pois eu não fui à primeira aula…e agora também nem vou dizer mais nada até realmente me inteirar da situação!
Como foi referido na última OT, a frase deste quiz é falsa: o problema está na terceira igualdade, que só é válida se $f$ for contínua em $a$; como as hipóteses não permitem concluir isso, tal passagem não pode ser assegurada (e, na verdade, não é muito difícil arranjar uma situação que se enquadre nas hipóteses dadas e para a qual os limites não se possam trocar).
Queria aqui destacar o trabalho notável do Pedro Cirne, que, na sequência da troca de mensagens aqui visível (para se seguir a sequência pela ordem correcta, deve olhar-se para as datas e horas de cada uma), evoluiu para a conclusão correcta. Seria bom outros seguirem-lhe o exemplo. Foi o próprio Pedro que chegou à conclusão que há certas situações em que não podemos simplesmente mandar um palpite só pelo aspecto da coisa. E foi ele próprio que, aos poucos, decidiu, para sentir que controlava o problema, analisar cada uma das suas partes. Mesmo assim, numa primeira fase, não todas com igual detalhe (o que se revelou "fatal"). Foi precisamente quando pensou sobre cada um dos passos que compõem a frase que descobriu que num dos passos havia um problema.
Uma vez esta ideia geral percebida, o próximo desafio a vencer é, numa outra situação, conseguir fazer o percurso sem a direcção do professor.
É claro — também pelo que se viu pelos quizzes anteriores — que, por sua vez, a avaliação de cada um dos pequenos passos que compõem uma frase só pode ser feita correctamente se se souber a matéria envolvida (o que inclui perceber qual a operação que se está a efectuar em cada caso).