Considere a afirmação:
Em relação à sucessão
(1)é fácil ver que converge pontualmente para a função $-x$ em $\mathbb{R}$. Posso mesmo dizer que a convergência é uniforme, pois
(2)Isto também é confirmado por observação gráfica, já que a distância entre os gráficos de $\frac{x^2}{n}-x$ e de $-x$ tende a anular-se em todo o domínio.
Se concorda, seleccione o + em baixo; se discorda, seleccione o -. Se mudar de ideias, pode sempre cancelar a sua escolha (seleccione x) e fazer a outra (ou poderá seleccionar logo a outra, que a anterior será então anulada). Se, no rodapé da página, seleccionar a opção "Rate" poderá aceder à lista dos colegas que já optaram por uma das hipóteses. Se conhecer algum deles que tenha feito a escolha contrária à sua, por que não conversarem para ver se chegam à resposta correcta?
Comentários:
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Espero não estar a dizer nenhuma barbaridade, mas a igualdade lim n->0 sup |x2/n| = 0, como pode ela ser igual a zero se primeiro calcula-se o supremo da expressão e este, para cada x, não varia: escolhemos o menor n possível ( uma vez que está no denominador) e sustitui-se:
lim n->0 sup |x2/n| = lim n->0 |x2| = |x2|
Antes de mais, convém eliminar aqui algumas confusões:
1. Quando se escreve algo como $\sup_{x \in D} g(x,n)$ pretende-se indicar que o supremo é calculado sobre todas as ocorrências da expressão $g(x,n)$ quando $x$ varia em $D$ (estando o $n$ fixo). Assim, não faz sentido falar-se em um supremo para cada $x$: pelo contrário, terá que se fazer variar o $x$ em $D$ e observar o supremo que irá aparecer. E também não faz sentido escolher-se um certo $n$, porque, tal como referi, o $n$ deve considerar-se fixo enquanto se calcula aquele supremo (e, estando fixo, já não se pode escolher de outra maneira).
2. Por sua vez, na expressão $\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} g(x,n)$ também não faz sentido escolher-se o $n$, pois no cálculo do limite ele tem que variar até ao infinito e, portanto, não se pode fixar.
3. Finalmente, talvez por lapso, escreveste $n \to 0$ em vez de $n \to \infty$. Em qualquer dos casos, não sei a que te referes quando mencionas o menor $n$ possível: no caso de $n \to 0$, o menor $n$ tenderia a ser 0 (mas não pode porque supostamente o $n$ é um natural); no caso de $n \to \infty$, parece-me que te queres referir ao $n=1$ como sendo o menor, mas acontece que os primeiros termos de uma sucessão nunca influenciam o seu limite, e portanto é irrelevante, para o cálculo acima, aquilo que se passa com $n=1$.
É melhor começares de novo… Para cada $n$ fixo, calcula o supremo em $x$1; depois, com o que obtiveres, calculas o limite quando $n$ tende para infinito.
Como foi referido na última OT, a frase deste quiz é falsa: a afirmação (2) é falsa. Este é um erro comum, já que, apesar da ordem das operações claramente identificada no primeiro membro de (2), a tendência geral dos alunos é fazer primeiro o limite em $n$ e só depois o supremo em $x$.
Ora, fazer primeiro o limite em $n$ corresponde a calcular o limite pontual, que já foi determinado anteriormente. Assim, o que deve ser feito em (2) é exactamente o que o primeiro membro da expressão pede: para cada $n$ (fixo, portanto) deve-se determinar o supremo da expressão $|x^2|/n$, considerando a possível variação do $x$; como o $x$ pode variar em todo o $\mathbb R$, claramente aquela expressão pode assumir valores tão grandes quanto se queira, logo o supremo é infinito (prefere-se dizer assim em vez de se dizer que não existe); se agora passarmos ao cálculo do limite em $n$, deparamo-nos com o cálculo do limite de algo que é sempre infinito e que, portanto, é também infinito. Em particular a convergência não é uniforme.
A última frase do enunciado é enganadora: a observação gráfica só confirma o resultado falso em (2) se estivermos a observar o que se passa numa janela do domínio. Na verdade, para a sucessão dada, a convergência seria uniforme se o domínio fosse limitado. No entanto, se fixarmos um $n$ e observarmos o que se passa à medida que $|x|$ tende para infinito, vemos que esta observação gráfica não confirma a afirmação (2) (pelo contrário, confirma a correcção que lhe fizémos em cima).