Testes
  1. Quando $g_1, \ldots, g_n$ são diferenciáveis em $t_0$ também se diz que a função (vetorial) $\vec{g}$ é diferenciável em $t_0$ e que $\left(\frac{dg_1}{dt}(t_0), \ldots, \frac{dg_n}{dt}(t_0)\right)$ é a sua derivada $\frac{d\vec{g}}{dt}(t_0)$ em $t_0$. Com estas definições, a fórmula da regra da cadeia dada acima também se pode escrever na forma mais abreviada

    ${\displaystyle \qquad \frac{d(f \circ \vec{g})}{dt}(t_0) = \nabla f(P_0) \cdot \frac{d\vec{g}}{dt}(t_0)}$.
  2. Existe um bom motivo geométrico para se ter destacado o vetor que acima se denotou por $\frac{d\vec{g}}{dt}(t_0)$, e que pode mais simplesmente ser denotado por $\vec{g}\!\phantom{i}'(t_0)$ já que não há aqui possível confusão sobre a variável relativamente à qual se está a derivar: é que nos casos de $n=2$ e de $n=3$, se for não nulo tal vetor tem a direção da tangente à curva imagem de $\vec{g}$ no ponto $P_0$. Não cabe aqui explorar esse tema completamente, que cai no domínio de Cálculo III, mas pode-se pelo menos dar a seguinte indicação no caso de $(x,y)=P=\vec{g}(t) \in \mathbb R^2$ verificar $g'_1(t_0) \not= 0$ e se poder descrever como o gráfico da função real de uma variável real $y=h(x)$, isto é, com $h$ definida de tal modo que $g_2(t)=h(g_1(t))$, $t \in I$:
    Supondo $h$ diferenciável em $x_0:=g_1(t_0)$, sabemos que $(1,h'(x_0))$, sendo um vetor tangente ao gráfico de $h$ em $(x_0,h(x_0))$, é então tangente à curva de equação $(x,y)=\vec{g}(t)$ em $(g_1(t_0),g_2(t_0))$. Consequentemente, multiplicando esse vetor por $g'_1(t_0)$, obtém-se ainda um vetor tangente à mesma curva no mesmo ponto. Ora $(g'_1(t_0),h'(g_1(t_0))g'_1(t_0))$ é, pela regra da cadeia para funções de uma variável, o mesmo que $(g'_1(t_0),(h\circ g_1)'(t_0))$, ou seja, $\vec{g}\!\phantom{i}'(t_0)$.
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